Interpolación polinómica de Lagrange
Primera sesión después del primer parcial
Profesor: Arturo Hidalgo
Interpolación: consiste en averiguar el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando se conocen algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo, y no se conoce la ley de variación de la magnitud, para demostrarlo nos guiaremos de la siguiente gráfica en la que:
N será una variable asignada cada cierto tiempo
T será la variable tiempo en el eje x.
Se conocen los valores N1, N2, t1 y t2.
Se pretende descubrir un valor intermedio (Nx) entre los valores previamente establecidos
Por lo que mediante una función lineal podemos deducir:
Donde se permite despejar “a” y “b· :
Y sustituyendo se obtiene para dos variables, la siguiente formula general:
Finalmente, mediante los datos otorgados y siguiendo esa función lineal dada, se podrán obtener valores para todos los tiempos que seleccionemos.
Interpolación de Lagrange
Es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dados, este tipo de interpolación siempre se utiliza para valores discretos de una función, nunca con una función entera dada.
Y se definió en clase de la siguiente manera a la interpolación de Lagrange:
“Dados una serie de puntos {ti} y unos valores {fi} (i=1,...,n) construir una función p(t) que verifique":
p(si)=fi (i=1,...,n)
fi = valores de la función que se interpola.
ti = soporte de interpolación.
Y una vez obtenida la función P(t) se podrá interpolar por el método lagrange que facilita:
(L1(t) y L2(t): polinomios de base de Lagrange)
Pues el conjunto de polinomios de grado ≤ n tiene estructura de espacio vectorial de dimensión=n,
Entonces cualquier elemento de ese conjunto se puede expresar como combinación lineal de funciones de base.
Para demostrarlo haremos el cálculo de los Li(t) con la i variando entre 1 y 2.
Cálculo de los L i(t) (i=1,2)
Y sabiendo que necesitamos obtener los polinomios bases que nos ayuden a obtener las respuestas de los dos espacios de tiempo enfrentados, necesitamos que:
Por lo tanto generamos un sistema para poder despejar 'b' y 'a':
Despejando obtenemos:
Al despejar “a” y “b”, podemos reescribir al polinomio de Lagrange de una manera mucho más cómoda, empezando por:
Y entonces, se genera una ecuación con variables conocidas:
Por lo que con este desarrollo se harán los ejercicios que se planteen.
Si quieres reconocer las funciones dadas y el grado del polinomio usado de Lagrange seria analizando sus gráficas:
GRÁFICA 1: Grado 0
GRAFICA 2: Grado 1 (Recta)
GRÁFICA 3: Grado 2 (Parábola)
eJERCICIO 1
¿Cuántas bacterias hay en ti=2?
