Interpolación polinómica de Lagrange

Interpolación polinómica a trozos o por tramos

Profesor: Arturo Hidalgo

RECORDATORIO

Sabemos que de la tabla de diferencias divididas se genera la para la interpolación de Lagrange, a partir de esta idea se desarrollará el tema.

Interpolación polinómica a trozos

La interpolación con múltiples puntos, tiene la traba de que en ella podrán desarrollarse distintas recopilaciones de funciones y por ello será más difícil estimar un valor real para cualquier polinomio. Bajo esta idea desarrollaremos la interpolación polinomica de Lagrange a trozos.

Sin embargo, será útil para el desarrollo de cualquier función recordar técnicas antes explicadas, y así valernos de ellas en el desarrollo de cualquier función.

REPASO DIFERENCIAS DIVIDIDAS

En nuestro camino por recordar la técnica, definiremos una serie de puntos y valores de la función que queremos utilizar para la aproximación:

SI nos basamos en la teoría anteriormente descrita, cuando queremos calcular un valor aleatorio como F(s2, s3, s4), seguiríamos la ecuación especifica:

Ahora, si bien quisiésemos generalizar en vez de particularizar el caso, podríamos obtener un elemento cualquiera de una matriz, de la siguiente manera:

Inicializando la matriz a cero: A=0
Definiendo los términos de la primera columna como los elementos de la función evaluados en los puntos dados (Si), y creando un intervalo de trabajo desde el primer punto dado hasta el último =f(s), i=1,2,3…,n
Se juntan los pasos anteriormente descritos para obtener un elemento cualquiera de la matriz, y jugando con la ecuación dada para el valor aleatorio en F(s2,s3,s4); obtendremos de forma generalizada:

Ai,1=f(s), i=1,2,3…,n

En esta nueva fórmula se generan bucles en i y j (valores variables) :

j=2, …, n

i=1, …, n-(j-1)

Un ejemplo adecuado de las diferencias divididas en un algoritmo podría ser el examen -> realizado en octubre del 2019, en el cual el 3er ejercicio enunciaba un caso de esta técnica.

Sin embargo para hacer más visual un ejemplo sobre cómo generar un algoritmo que construya las diferencias divididas con cualquier conjunto de datos. En clases se desarrollo el siguiente ejercicio:

Datos: n,s,f
Resultado A
Ai,1= fi i=1, …, n
Formula dada antes (j=2,…,n)

I=1, …, n-j+1

Ver solución

Una vez finalizado el algoritmo, recordaremos la fórmula de Newton para interpolación de Lagrange y usaremos el algoritmo creado para el uso de la misma...

Recuerda que con 2 puntos, se generaba una recta, con la siguiente ecuación:

Fórmula de Newton

RECORDATORIO

Al estar generalizando podemos añadir todos los puntos que queramos de la siguiente forma:

GENÉRICO

Fórmula resumida:

Otra forma:

Duda de clase #1:

¿Qué es el termino “n”?

Estos términos como “i” ó “n” son términos genéricos que van variando.

Duda de clase #2:

¿Qué pasó con i=1?

El término que corresponde al valor de i=1 sale fuera del sumatorio debido a que no tiene termino x ya que se trata de un monomio de grado 0.

Representando la descripción de la fórmula de newton, y siendo llevada a algoritmo obtenemos:

ALGORITMO CON FÓRMULA A:

Resumidos los dos procesos esenciales, iniciemos un ejercicio:

EJERCICIO

Construir un polinomio interpolador de Lagrange mediante la fórmula de Newton para los siguientes valores:

Aproxima el valor de s=1

Construimos la tabla de diferencias divididas

2. Hacemos el polinomio interpolador

3. Calculamos el valor aproximado para =1

OBSERVACIONES (PREVIAS A LA EXPLICACIÓN GENERAL):

Normalmente en funciones con múltiples puntos, la aproximación a la forma y el valor real que toma la función en distintos tramos suele ser más precisa:

Sin embargo, cabe la posibilidad de que al tener más puntos en la función puede generar que la misma pueda ser de naturaleza oscilante lo que puede dificultar su estudio.

Ahora si estudiamos por tramos y grados a las funciones podríamos tener distintos polinomios interpoladores de distintos grados:

Grado 1: recta Grado 2: parábola

Cuando el polinomio es oscilante, puede representar un obstáculo en casos como:

La producción de bacterias, en la cual la población debería presentar crecimiento ideal de tipo exponencial (gráfica A); sin embargo al esta tener tantos puntos nada asegura que la unión de los mismos no ocurra de manera oscilante (gráfica B)

Existen casos en que por alguna razón, los puntos nos definen un tramo de la función como negativo; esto puede representar un error de sentido físico en ejemplos donde se estén analizando crecimientos como los de concentraciones. (Grafica C)

Sin embargo para solucionar estos problemas con las funciones que puedan tener oscilación, se procede a definir tramos y a estudiar mediante:

Interpolación polinómica a trozos

En la siguiente gráfica, definimos los intervalos de estudio para una función oscilante; posteriormente se describe el método al que recurrimos con este tipo de funciones:

Siendo P1 y P2: rectas y P3: parábola

Los puntos s2 y s3 no son derivables

Nota: lo habitual es que no se mezclen grados, es decir, o todos los trozos son rectas o parábolas.

Esta función en su conjunto no es derivable, sin embargo en cada tramo, se pueden definir polinomios derivables y así trabajar la función a trozos de la siguiente manera:

Centrandonos en un grado concreto:

interpolación polinómica de primer grado

Para obtener g(x) vamos a utilizar polinomios de base funciones denominadas: Hat function

Nota: Los () se refieren al tramos del límite

ECUACIÓN GENERAL:

Recordemos con un ejemplo el polinomio interpolador a trozos;

EJERCICIO 1

Dados los siguientes puntos y valores de la función. Obtener la función polinómica a trozos de primer grado mediante polinomios de base

Datos:

Para ver la solucion pasa el cursor por el espacio en blanco

Que sustituyendo y resumiendo podemos simplificar como:

Trozos de primer grado:

Mediante polinomios de base, se definen las funciones de base:

Uniendo la composición de los polinomios de base y sus funciones respectivas obtendremos la siguiente función a trozos:

SOLUCIÓN

Observación: si solo piden obtener un valor concreto que toma la función en un punto, no haría falta desarrollar todos los tramos de la función, pues sería suficiente con calcular solo el tramo que incluye ese dato.

Por ejemplo si queremos calcular el valor aproximado cuando la función toma el valor de x=2,8 de la funcion del ejercicio anterior: